Handbook of Biological Statistics

Portugals föregående ämne|nästa ämne innehållsförteckning

använd simple logistic regression när du har en nominell variabel och en mätvariabel, och du vill veta om variation i mätvariabeln orsakar variation i den nominella variabeln.

när du ska använda den

Använd enkel logistisk regression när du har en nominell variabel med två värden (man/kvinna, död/levande, etc.) och en mätvariabel. Den nominella variabeln är den beroende variabeln, och mätvariabeln är den oberoende variabeln.

jag separerar enkel logistisk regression, med endast en oberoende variabel, från multipel logistisk regression, som har mer än en oberoende variabel. Många klumpar all logistisk regression tillsammans, men jag tycker att det är användbart att behandla enkel logistisk regression separat, eftersom det är enklare.

enkel logistisk regression är analog med linjär regression, förutom att den beroende variabeln är nominell, inte en mätning. Ett mål är att se om sannolikheten för att få ett visst värde av den nominella variabeln är associerad med mätvariabeln; det andra målet är att förutsäga sannolikheten för att få ett visst värde av den nominella variabeln, med tanke på mätvariabeln.

kornstorlek
(mm)
spindlar
0.245 frånvarande
0.247 frånvarande
0.285 närvarande
0.299 närvarande
0.327 närvarande
0.347 present
0.356 absent
0.36 present
0.363 absent
0.364 present
0.398 absent
0.4 present
0.409 absent
0.421 present
0.432 absent
0.473 present
0.509 present
0.529 present
0.561 absent
0.569 absent
0.594 present
0.638 present
0.656 present
0.816 present
0.853 present
0.938 present
1.036 present
1.045 present

As an example of simple logistic regression, Suzuki et al. (2006) uppmätt sandkornstorlek på 28 stränder i Japan och observerade närvaron eller frånvaron av den grävande vargspindeln Lycosa ishikariana på varje strand. Sandkornstorlek är en mätvariabel, och spindelnärvaro eller frånvaro är en nominell variabel. Spindelnärvaro eller frånvaro är den beroende variabeln; om det finns ett samband mellan de två variablerna skulle det vara sandkornstorlek som påverkar spindlar, inte närvaron av spindlar som påverkar sanden.ett mål med denna studie skulle vara att avgöra om det fanns ett samband mellan sandkornstorlek och närvaron eller frånvaron av arten, i hopp om att förstå mer om spindlarnas biologi. Eftersom denna art är hotad, skulle ett annat mål vara att hitta en ekvation som skulle förutsäga sannolikheten för att en vargspindelpopulation överlever på en strand med en viss sandkornstorlek, för att bestämma vilka stränder som ska återintroducera spindeln till.

Du kan också analysera data med en nominell och en mätvariabel med en enkelriktad anova eller en Students t-test, och skillnaden kan vara subtil. En ledtråd är att logistisk regression gör att du kan förutsäga sannolikheten för den nominella variabeln. Tänk dig till exempel att du hade mätt kolesterolnivån i blodet hos ett stort antal 55-åriga kvinnor och sedan följt upp tio år senare för att se vem som hade haft hjärtinfarkt. Du kan göra ett T-test med två prov, jämföra kolesterolnivåerna hos de kvinnor som hade hjärtattacker vs. de som inte gjorde det, och det skulle vara ett helt rimligt sätt att testa nollhypotesen att kolesterolnivån inte är förknippad med hjärtattacker; om hypotesprovet var allt du var intresserad av, Skulle t–testet förmodligen vara bättre än den mindre kända logistiska regressionen. Men om du ville förutsäga sannolikheten för att en 55-årig kvinna med en viss kolesterolnivå skulle få en hjärtattack under de kommande tio åren, så att läkare kunde berätta för sina patienter ”om du minskar ditt kolesterol med 40 poäng, kommer du att minska risken för hjärtinfarkt med X%”, skulle du behöva använda logistisk regression.

leende Komodo drake
en Komodo drake, Varanus komodoensis.

en annan situation som kräver logistisk regression, snarare än ett anova–eller t-test, är när du bestämmer värdena för mätvariabeln, medan värdena för den nominella variabeln är fria att variera. Låt oss till exempel säga att du studerar effekten av inkubationstemperatur på sexbestämning i Komodo dragons. Du höjer 10 ägg vid 30 kcal C, 30 ägg vid 32 kg C, 12 ägg vid 34 kg C, etc., bestäm sedan kön på hatchlingsna. Det skulle vara dumt att jämföra de genomsnittliga inkubationstemperaturerna mellan manliga och kvinnliga kläckningar och testa skillnaden med ett anova–eller t-test, eftersom inkubationstemperaturen inte beror på avkommans kön; du har ställt in inkubationstemperaturen, och om det finns ett förhållande är det att avkommans kön beror på temperaturen.

när det finns flera observationer av den nominella variabeln för varje värde av mätvariabeln, som i Komodo dragon-exemplet, ser du ofta data som analyseras med linjär regression, med proportionerna behandlade som en andra mätvariabel. Ofta är proportionerna bågformiga, eftersom det gör fördelningarna av proportioner mer normala. Detta är inte hemskt, men det är inte strikt korrekt. Ett problem är att linjär regression behandlar alla proportioner lika, även om de är baserade på mycket olika provstorlekar. Om 6 av 10 Komodo-drakeägg som höjdes vid 30 kg C var kvinnliga och 15 av 30 ägg som höjdes vid 32 kg C var kvinnliga, skulle 60% kvinnor vid 30 kg C och 50% vid 32 kg C få lika stor vikt i en linjär regression, vilket är olämpligt. Logistisk regression analyserar varje observation (i detta exempel, varje Komodo-drakens kön) separat, så 30-drakarna vid 32-C skulle ha 3 gånger vikten av 10-drakarna vid 30-C.

medan logistisk regression med två värden av den nominella variabeln (binär logistisk regression) är överlägset den vanligaste, kan du också göra logistisk regression med mer än två värden av den nominella variabeln, kallad multinomial logistisk regression. Jag kommer inte att täcka det här alls. Förlåt.

Du kan också göra enkel logistisk regression med nominella variabler för både de oberoende och beroende variablerna, men för att vara ärlig förstår jag inte fördelen med detta över ett chi-kvadrat eller G–test av oberoende.

nollhypotes

den statistiska nollhypotesen är att sannolikheten för ett visst värde av den nominella variabeln inte är associerad med mätvariabelns värde; med andra ord har linjen som beskriver förhållandet mellan mätvariabeln och sannolikheten för den nominella variabeln en lutning på noll.

hur testet fungerar

enkel logistisk regression hittar ekvationen som bäst förutsäger värdet på Y-variabeln för varje värde av X-variabeln. Det som gör logistisk regression annorlunda än linjär regression är att du inte mäter y-variabeln direkt; det är istället sannolikheten för att få ett visst värde av en nominell variabel. För spindelexemplet är värdena för den nominella variabeln ”spindlar närvarande” och ”spindlar frånvarande.”Y-variabeln som används i logistisk regression skulle då vara sannolikheten för att spindlar är närvarande på en strand. Denna sannolikhet kan ta värden från 0 till 1. Det begränsade utbudet av denna sannolikhet skulle ge problem om de används direkt i en regression, så oddsen, Y/(1-Y), används istället. (Om sannolikheten för spindlar på en strand är 0,25 är oddsen för att ha spindlar 0.25/(1-0.25)=1/3. I spel termer, Detta skulle uttryckas som ” 3 till 1 odds mot att ha spindlar på en strand.”) Att ta den naturliga loggen över oddsen gör variabeln mer lämplig för en regression, så resultatet av en logistisk regression är en ekvation som ser ut så här:

ln=a+bX

Du hittar lutningen (b) och avlyssnar (a) av den bäst passande ekvationen i en logistisk regression med hjälp av metoden för maximal sannolikhet, snarare än den minsta kvadratmetoden du använder för linjär regression. Maximal sannolikhet är en datorintensiv teknik; Grundtanken är att den hittar värdena på parametrarna under vilka du mest sannolikt skulle få de observerade resultaten.

för spindelexemplet är ekvationen

ln=-1.6476+5.1215(kornstorlek)

omarrangera för att lösa för Y (sannolikheten för spindlar på en strand) ger

Y=e−1.6476+5.1215(kornstorlek)/(1+e−1.6476+5.1215(kornstorlek))

där E är roten till naturliga stockar. Så om du gick till en strand och ville förutsäga sannolikheten för att spindlar skulle bo där, kunde du mäta sandkornstorleken, ansluta den till ekvationen och få en uppskattning av Y, sannolikheten för att spindlar är på stranden.

det finns flera olika sätt att uppskatta P-värdet. Wald chi-torget är ganska populärt, men det kan ge felaktiga resultat med små provstorlekar. Metoden för sannolikhetsförhållande kan vara bättre. Den använder skillnaden mellan sannolikheten för att erhålla de observerade resultaten under logistikmodellen och sannolikheten för att erhålla de observerade resultaten i en modell utan samband mellan de oberoende och beroende variablerna. Jag rekommenderar att du använder likelihood-ratio-metoden; var noga med att ange vilken metod du har använt när du rapporterar dina resultat.

för spider-exemplet är p-värdet med sannolikhetsförhållandet 0,033, så du skulle avvisa nollhypotesen. P-värdet för Wald-metoden är 0,088, vilket inte är ganska signifikant.

antaganden

enkel logistisk regression förutsätter att observationerna är oberoende; med andra ord, att en observation inte påverkar en annan. I Komodo dragon-exemplet, om alla ägg vid 30 kg C lades av en mamma, och alla ägg vid 32 kg C lades av en annan mamma, skulle det göra observationerna oberoende. Om du utformar ditt experiment väl har du inga problem med detta antagande.

enkel logistisk regression förutsätter att förhållandet mellan den naturliga loggen för oddsförhållandet och mätvariabeln är linjär. Du kanske kan fixa detta med en omvandling av din mätvariabel, men om förhållandet ser ut som en U eller upp och ner U, fungerar inte en omvandling. Till exempel Suzuki et al. (2006) fann en ökande sannolikhet för spindlar med ökande kornstorlek, men jag är säker på att om de tittade på stränder med ännu större sand (med andra ord grus) skulle sannolikheten för spindlar gå tillbaka. I så fall kunde du inte göra enkel logistisk regression; du skulle förmodligen vilja göra flera logistiska regressioner med en ekvation inklusive både X och X2 termer istället.

enkel logistisk regression antar inte att mätvariabeln är normalt fördelad.

exempel

en amfipod
en amfipod kräftdjur, Megalorchestia californiana.

McDonald (1985) räknade allelfrekvenser vid mannos-6-fosfatisomeras (Mpi) locus i amfipod kräftdjur Megalorchestia californiana, som bor på sandstränder i Stillahavskusten i Nordamerika. Det fanns två vanliga alleler, Mpi90 och Mpi100. Latitud för varje samlingsplats, räkningen av var och en av allelerna och andelen mpi100-allelen visas här:

plats Latitude Mpi90 Mpi100 p, Mpi100
Port Townsend, wa 48,1 47 139 0,748
Neskowin, eller 45,2 177 241 0,577
Siuslaw R., eller 44 1087 1183 0,521
Umpqua R., eller 43.7 187 175 0.483
Coos Bay, OR 43.5 397 671 0.628
San Francisco, CA 37.8 40 14 0.259
Carmel, CA 36.6 39 17 0.304
Santa Barbara, CA 34.3 30 0 0

Allele (Mpi90 or Mpi100) is the nominal variable, and latitude is the measurement variable. Om den biologiska frågan Var ” har olika platser olika allelfrekvenser?”, skulle du ignorera latitud och göra ett chi-kvadrat eller G–test av självständighet; här är den biologiska frågan ”är allelfrekvenser associerade med latitud?”

Observera att även om andelen mpi100-allelen verkar öka med ökande latitud, är provstorlekarna för norra och södra områden ganska små; att göra en linjär regression av allelfrekvens mot latitud skulle ge dem lika stor vikt till de mycket större proverna från Oregon, vilket skulle vara olämpligt. Genom att göra en logistisk regression är resultatet chi2=83,3, 1 d. F., P = 7 10-20 xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx. Ekvationen för förhållandet är

ln(Y/(1−Y))=-7.6469+0.1786 (latitud),

där Y är den förutsagda sannolikheten för att få en mpi100-allel. Att lösa detta för Y ger

Y=e-7.6469 + 0.1786(latitud)/(1+e−7.6469+0.1786 (latitud)).

denna logistiska regressionslinje visas i diagrammet; Observera att den har en mild S-form. Alla logistiska regressionsekvationer har en S-form, även om det kanske inte är uppenbart om man tittar över ett smalt värdeområde.

diagram över logistisk regressionMPI-allelfrekvenser vs. Latitud i amfipoden Megalorchestia californiana. Felfält är 95% konfidensintervall; den tjocka svarta linjen är den logistiska regressionslinjen.

grafera resultaten

Om du har flera observationer för varje värde av mätvariabeln, som i amphipod exemplet ovan, kan du rita en scattergraph med mätvariabeln på X-axeln och proportionerna på Y-axeln. Du kanske vill sätta 95% konfidensintervall på punkterna; detta ger en visuell indikation på vilka punkter som bidrar mer till regressionen (de med större provstorlekar har mindre konfidensintervall).

det finns inget automatiskt sätt i kalkylblad att lägga till den logistiska regressionslinjen. Så här fick jag det på grafen av amfipoddata. Först lägger jag breddgraderna i kolumn A och proportionerna i kolumn B. sedan, med kommandot Fill: Series, lade jag till siffrorna 30, 30.1, 30.2,…50 till cellerna A10 till A210. I kolumn C gick jag in i ekvationen för den logistiska regressionslinjen; i Excel-format är det

= exp(-7.6469+0.1786*(A10))/(1+exp(-7.6469+0.1786*(A10)))

för rad 10. Jag kopierade detta till celler C11 genom C210. Sedan när jag ritade en graf över siffrorna i kolumnerna A, B och C gav jag siffrorna i kolumn B-symboler men ingen linje, och siffrorna i kolumn C fick en linje men inga symboler.

Central stoneroller
Central stoneroller, Campostoma anomalum.

Om du bara har en observation av den nominella variabeln för varje värde av mätvariabeln, som i spider-exemplet, skulle det vara dumt att rita en scattergraph, eftersom varje punkt på grafen skulle vara antingen 0 eller 1 på Y-axeln. Om du har många datapunkter kan du dela upp mätvärdena i intervaller och plotta andelen för varje intervall i ett stapeldiagram. Här är data från Maryland Biological Stream Survey på 2180 provtagningsplatser i Maryland-strömmar. Mätvariabeln är upplöst syrekoncentration, och den nominella variabeln är närvaron eller frånvaron av den centrala stoneroller, Campostoma anomalum. Om du använder ett stapeldiagram för att illustrera en logistisk regression, bör du förklara att grupperingen endast var för heuristiska ändamål, och den logistiska regressionen gjordes på råa, ogrupperade data.

stapeldiagram över logistisk regression
andel strömmar med centrala stonerollers vs upplöst syre. Upplösta syreintervaller var inställda på att ha ungefär lika många strömställen. Den tjocka svarta linjen är den logistiska regressionslinjen; den är baserad på rådata, inte data grupperade i intervaller.
stapeldiagram över logistisk regression
andel av strömmar med centrala stonerollers vs upplöst syre. Upplösta syreintervaller var inställda på att ha ungefär lika många strömställen. Den tjocka svarta linjen är den logistiska regressionslinjen; den är baserad på rådata, inte data grupperade i intervaller.

Liknande tester

Du kan göra logistisk regression med en beroende variabel som har mer än två värden, känd som multinomial, polytom eller polychotom logistisk regression. Jag täcker inte det här.

använd multipel logistisk regression när den beroende variabeln är nominell och det finns mer än en oberoende variabel. Det är analogt med multipel linjär regression, och alla samma varningar gäller.

använd linjär regression när y-variabeln är en mätvariabel.

när det bara finns en mätvariabel och en nominell variabel kan du använda envägs anova eller ett t-test för att jämföra mätvariabelns medel mellan de två grupperna. Konceptuellt är skillnaden om du tror att variation i den nominella variabeln orsakar variation i mätvariabeln (använd ett t–test) eller variation i mätvariabeln orsakar variation i sannolikheten för den nominella variabeln (använd logistisk regression). Du bör också överväga vem du presenterar dina resultat för och hur de ska använda informationen. Till exempel Tallamy et al. (2003) undersökte parningsbeteende hos fläckiga gurka skalbaggar (Diabrotica undecimpunctata). Manliga skalbaggar stroke honan med sin antenn, och Tallamy et al. ville veta om snabbare sträckande män hade bättre parningsframgång. De jämförde den genomsnittliga sträckningshastigheten för 21 framgångsrika män (50,9 slag per minut) och 16 misslyckade män (33,8 slag per minut) med ett T-test med två prov och fann ett signifikant resultat (P<0.0001). Detta är ett enkelt och tydligt resultat, och det svarar på frågan, ”är kvinnliga spotted gurka skalbaggar mer benägna att para sig med män som stroke snabbare?”Tallamy et al. (2003) kunde ha analyserat dessa data med hjälp av logistisk regression; det är en svårare och mindre bekant statistisk teknik som kan förvirra några av deras läsare, men förutom att svara på Ja/Nej-Frågan om huruvida strökhastighet är relaterad till parningsframgång, kunde de ha använt den logistiska regressionen för att förutsäga hur mycket ökning av parningsframgång en skalbagge skulle få när den ökade sin strökhastighet. Detta kan vara användbart ytterligare information (speciellt om du är en manlig gurka skalbagge).

hur man gör testet

kalkylblad

Jag har skrivit ett kalkylblad för att göra enkel logistisk regression. Du kan ange data antingen i sammanfattad form (till exempel att säga att vid 30 CCB var 7 manliga och 3 kvinnliga Komodo-drakar) eller icke-sammanfattad form (till exempel att ange varje Komodo-drake separat, med ”0” för en man och ”1” för en kvinna). Den använder likelihood-ratio-metoden för att beräkna P-värdet. Kalkylbladet använder verktyget ”Solver” i Excel. Om du inte ser Solver listad i Verktyg-menyn, gå till Tillägg i Verktyg-menyn och installera Solver.

kalkylbladet är roligt att spela med, men jag är inte tillräckligt säker på det för att rekommendera att du använder det för publicerbara resultat.

webbsida

det finns en mycket trevlig webbsida som kommer att göra logistisk regression, med sannolikheten-förhållandet chi-square. Du kan ange data antingen i sammanfattad form eller icke-sammanfattad form, med värdena åtskilda av flikar (som du får om du kopierar och klistrar in från ett kalkylblad) eller kommatecken. Du skulle ange amfipoddata så här:

 48.1,47,139 45.2,177,241 44.0,1087,1183 43.7,187,175 43.5,397,671 37.8,40,14 36.6,39,17 34.3,30,0

R

Salvatore Mangiaficos R Companion har ett prov r-program för enkel logistisk regression.

SAS

använd PROC LOGISTIC för enkel logistisk regression. Det finns två former av MODELLFÖRKLARINGEN. När du har flera observationer för varje värde i mätvariabeln kan din datamängd ha mätvariabeln, antalet ”framgångar” (detta kan vara antingen värdet på den nominella variabeln) och summan (som du kan behöva skapa en ny variabel för, som visas här). Här är ett exempel med amphipod-data:

DATA amphipods; INPUT location $ latitude mpi90 mpi100; total=mpi90+mpi100; DATALINES;Port_Townsend,_WA 48.1 47 139 Neskowin,_OR 45.2 177 241Siuslaw_R.,_OR 44.0 1087 1183Umpqua_R.,_OR 43.7 187 175Coos_Bay,_OR 43.5 397 671San_Francisco,_CA 37.8 40 14Carmel,_CA 36.6 39 17Santa_Barbara,_CA 34.3 30 0;PROC LOGISTIC DATA=amphipods; MODEL mpi100/total=latitude;RUN;

Observera att du skapar den nya variabelsumman i DATASTEGET genom att lägga till antalet mpi90-och mpi100-alleler. MODELLUTTALANDET använder antalet mpi100-alleler av summan som den beroende variabeln. P-värdet skulle vara detsamma om du använde Mpi90; ekvationsparametrarna skulle vara olika.

det finns mycket produktion från PROC LOGISTIC som du inte behöver. Programmet ger dig tre olika p-värden; sannolikhetsförhållandet P-värdet är det vanligaste:

 Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Test Chi-Square DF Pr > ChiSqLikelihood Ratio 83.3007 1 <.0001 P valueScore 80.5733 1 <.0001Wald 72.0755 1 <.0001

koefficienterna för den logistiska ekvationen ges under ”uppskattning”:

 Analysis of Maximum Likelihood Estimates Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -7.6469 0.9249 68.3605 <.0001latitude 1 0.1786 0.0210 72.0755 <.0001

med hjälp av dessa koefficienter är den maximala sannolikhetsekvationen för andelen mpi100−alleler vid en viss latitud

Y=e−7.6469+0.1786(latitud)/(1+e-7.6469+0.1786(latitud))

det är också möjligt att använda data där varje rad är en enda observation. I så fall kan du använda antingen ord eller siffror för den beroende variabeln. I det här exemplet är uppgifterna höjd (i tum) av 2004-eleverna i min klass, tillsammans med deras favoritinsekt (grupperade i skalbaggar vs. allt annat, där ”allt annat” inkluderar spindlar, som en biolog verkligen borde veta inte är insekter):

DATA insect; INPUT height insect $ @@; DATALINES;62 beetle 66 other 61 beetle 67 other 62 other76 other 66 other 70 beetle 67 other 66 other70 other 70 other 77 beetle 76 other 72 beetle76 beetle 72 other 70 other 65 other 63 other63 other 70 other 72 other 70 beetle 74 other ;PROC LOGISTIC DATA=insect; MODEL insect=height;RUN;

resultatets format är detsamma för någon form av MODELLUTTALANDET. I det här fallet skulle modellen vara sannolikheten för BEETLE, eftersom den är alfabetiskt först; för att modellera sannolikheten för andra, skulle du lägga till en händelse efter den nominella variabeln i MODELLUTTALANDET, vilket gör det ”MODEL insect (EVENT=’other’)=height;”

Power analysis

Du kan använda G*Power för att uppskatta provstorleken som behövs för en enkel logistisk regression. Välj ” z-test ”under testfamilj och” logistisk regression ” under statistiskt test. Ställ in antalet svansar (vanligtvis två), alfa (vanligtvis 0,05) och kraft (ofta 0,8 eller 0,9). För enkel logistisk regression, Ställ in ”x-distribution” till Normal, ”R2 other X” till 0, ”X Parm except” till 0 och ”X Parm except” till 1.

det sista du ska ställa in är din effektstorlek. Detta är oddsförhållandet för skillnaden du hoppas hitta mellan oddsen för Y när X är lika med medelvärdet X, och oddsen för Y när X är lika med medelvärdet X plus en standardavvikelse. Du kan klicka på knappen ”bestäm” för att beräkna detta.låt oss till exempel säga att du vill studera förhållandet mellan sandpartikelstorlek och närvaron eller frånvaron av tigerbaggar. Du ställer in alpha till 0,05 och power till 0,90. Du förväntar dig, baserat på tidigare forskning, att 30% av stränderna du tittar på kommer att ha tigerbaggar, så du ställer in ”Pr(Y=1|X=1) H0″ till 0,30. Också baserat på tidigare forskning, du förväntar dig en genomsnittlig sand kornstorlek .6 mm med en standardavvikelse på 0,2 mm. effektstorleken (minsta avvikelse från nollhypotesen som du hoppas se) är att när sandkornstorleken ökar med en standardavvikelse, från 0,6 mm till 0,8 mm, kommer andelen stränder med tigerbaggar att gå från 0,30 till 0,40. Du klickar på knappen” Bestäm ”och anger 0, 40 för” Pr(Y=1|X=1) H1 ” och 0.30 för” Pr(y=1|X=1) H0″, tryck sedan på ” Beräkna och överför till huvudfönstret.”Det kommer att fylla i oddsförhållandet(1.555 för vårt exempel) och ”Pr (Y=1|X=1) H0”. Resultatet i detta fall är 206, vilket innebär att ditt experiment kommer att kräva att du reser till 206 varma, vackra stränder.

bild av amfipod från Vikram Iyengars hemsida.

McDonald, J. H. 1985. Storleksrelaterad och geografisk variation vid två enzymlokaler i Megalorchestia californiana (Amphipoda: Talitridae). Ärftlighet 54: 359-366.

Suzuki, S., N. Tsurusaki och Y. Kodama. 2006. Distribution av en hotad grävande spindel Lycosa ishikariana i San ’ In kusten av Honshu, Japan (Araneae: Lycosidae). Acta Arachnologica 55: 79-86.

Tallamy, D. W., M. B. Darlington, J. D. Pesek och B. E. Powell. 2003. Copulatory Uppvaktning signalerar manlig genetisk kvalitet i gurka skalbaggar. Proceedings of the Royal Society of London B 270: 77-82.

tidigare ämne / nästa ämne innehållsförteckning i Brasilien

denna sida reviderades senast den 20 juli 2015. Dess adress är http://www.biostathandbook.com/logistic.html. Det kan nämnas som:
McDonald, J. H. 2014. Handbok för biologisk statistik (3: e upplagan.). Sparky House Publishing, Baltimore, Maryland. Denna webbsida innehåller Innehållet på sidorna 238-246 i den tryckta versionen.
2014 av John H. McDonald. Du kan förmodligen göra vad du vill med det här innehållet; se behörighetssidan för mer information.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.