Manual de Estadísticas Biológicas

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Utilice regresión logística simple cuando tenga una variable nominal y una variable de medición y desee saber si la variación en la variable de medición causa variación en la variable nominal.

Cuándo usarlo

Use regresión logística simple cuando tenga una variable nominal con dos valores (hombre / mujer, muerto / vivo, etc.) y una variable de medición. La variable nominal es la variable dependiente, y la variable de medición es la variable independiente.

Estoy separando la regresión logística simple, con una sola variable independiente, de la regresión logística múltiple, que tiene más de una variable independiente. Muchas personas agrupan toda la regresión logística, pero creo que es útil tratar la regresión logística simple por separado, porque es más simple.

La regresión logística simple es análoga a la regresión lineal, excepto que la variable dependiente es nominal, no una medición. Un objetivo es ver si la probabilidad de obtener un valor particular de la variable nominal está asociada con la variable de medición; el otro objetivo es predecir la probabilidad de obtener un valor particular de la variable nominal, dada la variable de medición.

tamaño de Grano
(mm)
Arañas
0.245 ausente
0.247 ausente
0.285 presente
0.299 presente
0.327 presente
0.347 present
0.356 absent
0.36 present
0.363 absent
0.364 present
0.398 absent
0.4 present
0.409 absent
0.421 present
0.432 absent
0.473 present
0.509 present
0.529 present
0.561 absent
0.569 absent
0.594 present
0.638 present
0.656 present
0.816 present
0.853 present
0.938 present
1.036 present
1.045 present

As an example of simple logistic regression, Suzuki et al. (2006) midieron el tamaño de grano de arena en 28 playas de Japón y observaron la presencia o ausencia de la araña lobo madriguera Lycosa ishikariana en cada playa. El tamaño de grano de arena es una variable de medición, y la presencia o ausencia de araña es una variable nominal. La presencia o ausencia de arañas es la variable dependiente; si hay una relación entre las dos variables, sería el tamaño de grano de arena que afecta a las arañas, no la presencia de arañas que afectan a la arena.

Un objetivo de este estudio sería determinar si existe una relación entre el tamaño del grano de arena y la presencia o ausencia de la especie, con la esperanza de comprender más sobre la biología de las arañas. Debido a que esta especie está en peligro de extinción, otro objetivo sería encontrar una ecuación que predeciría la probabilidad de que una población de araña lobo sobreviva en una playa con un tamaño de grano de arena particular, para ayudar a determinar en qué playas reintroducir la araña.

También puede analizar datos con una variable nominal y una variable de medición utilizando un anova unidireccional o una prueba t de Student, y la distinción puede ser sutil. Una pista es que la regresión logística le permite predecir la probabilidad de la variable nominal. Por ejemplo, imagine que había medido el nivel de colesterol en la sangre de un gran número de mujeres de 55 años de edad, y luego hizo un seguimiento diez años después para ver quién había tenido un ataque cardíaco. Podría hacer una prueba t de dos muestras, comparando los niveles de colesterol de las mujeres que sí tuvieron ataques cardíacos con los de las mujeres. aquellos que no lo hicieron, y esa sería una manera perfectamente razonable de probar la hipótesis nula de que el nivel de colesterol no está asociado con ataques cardíacos; si la prueba de hipótesis fuera todo lo que le interesara, la prueba t probablemente sería mejor que la regresión logística menos familiar. Sin embargo, si se quiere predecir la probabilidad de que una mujer de 55 años con un nivel de colesterol particular tenga un ataque cardíaco en los próximos diez años, para que los médicos puedan decirle a sus pacientes «Si reduce su colesterol en 40 puntos, reducirá su riesgo de ataque cardíaco en un X%», se tendría que usar regresión logística.

Dragón sonriente de Komodo
Un dragón de Komodo, Varanus komodoensis.

Otra situación que requiere regresión logística, en lugar de una prueba anova o t, es cuando se determinan los valores de la variable de medición, mientras que los valores de la variable nominal pueden variar libremente. Por ejemplo, supongamos que está estudiando el efecto de la temperatura de incubación en la determinación del sexo en dragones de Komodo. Elevar 10 huevos a 30 °C, 30 huevos a 32°C, 12 huevos a 34°C, etc., a continuación, determinar el sexo de las crías. Sería tonto comparar las temperaturas medias de incubación entre las crías macho y hembra, y probar la diferencia usando una prueba anova o t, porque la temperatura de incubación no depende del sexo de la descendencia; usted ha establecido la temperatura de incubación, y si hay una relación, es que el sexo de la descendencia depende de la temperatura.

Cuando hay múltiples observaciones de la variable nominal para cada valor de la variable de medición, como en el ejemplo del dragón de Komodo, a menudo verá los datos analizados mediante regresión lineal, con las proporciones tratadas como una segunda variable de medición. A menudo, las proporciones se transforman en arco-seno, porque eso hace que las distribuciones de proporciones sean más normales. Esto no es horrible, pero no es estrictamente correcto. Un problema es que la regresión lineal trata todas las proporciones por igual, incluso si se basan en tamaños de muestra muy diferentes. Si 6 de cada 10 huevos de dragón de Komodo criados a 30 °C fueran hembras, y 15 de cada 30 huevos criados a 32°C fueran hembras, el 60% de las hembras a 30°C y el 50% a 32°C obtendrían el mismo peso en una regresión lineal, lo cual es inapropiado. La regresión logística analiza cada observación (en este ejemplo, el sexo de cada dragón de Komodo) por separado, por lo que los 30 dragones a 32°C tendrían 3 veces el peso de los 10 dragones a 30°C.

Mientras que la regresión logística con dos valores de la variable nominal (regresión logística binaria) es con mucho la más común, también puede hacer regresión logística con más de dos valores de la variable nominal, llamada regresión logística multinomial. No voy a cubrirlo aquí en absoluto. Disculpe….

También puede hacer regresión logística simple con variables nominales tanto para las variables independientes como para las dependientes, pero para ser honesto, no entiendo la ventaja de esto sobre una prueba de independencia de chi cuadrado o G.

Hipótesis nula

La hipótesis nula estadística es que la probabilidad de un valor particular de la variable nominal no está asociada con el valor de la variable de medición; en otras palabras, la línea que describe la relación entre la variable de medición y la probabilidad de la variable nominal tiene una pendiente de cero.

Cómo funciona la prueba

La regresión logística simple encuentra la ecuación que mejor predice el valor de la variable Y para cada valor de la variable X. Lo que hace que la regresión logística sea diferente de la regresión lineal es que no se mide la variable Y directamente; en cambio, es la probabilidad de obtener un valor particular de una variable nominal. Para el ejemplo de araña, los valores de la variable nominal son «arañas presentes» y «arañas ausentes».»La variable Y utilizada en la regresión logística sería entonces la probabilidad de que las arañas estén presentes en una playa. Esta probabilidad podría tomar valores de 0 a 1. El rango limitado de esta probabilidad presentaría problemas si se usa directamente en una regresión, por lo que se usa la probabilidad Y/(1-Y) en su lugar. (Si la probabilidad de arañas en una playa es de 0,25, las probabilidades de tener arañas son 0.25/(1-0.25)=1/3. En términos de juego, esto se expresaría como » probabilidades de 3 a 1 en contra de tener arañas en una playa.») Tomar el logaritmo natural de las probabilidades hace que la variable sea más adecuada para una regresión, por lo que el resultado de una regresión logística es una ecuación que se parece a esto:

ln=a+bX

Se encuentra la pendiente (b) y la intersección (a) de la ecuación que mejor se ajusta en una regresión logística utilizando el método de máxima verosimilitud, en lugar del método de mínimos cuadrados que se utiliza para la regresión lineal. La máxima verosimilitud es una técnica intensiva en computadora; la idea básica es que encuentra los valores de los parámetros bajo los cuales es más probable obtener los resultados observados.

Para el ejemplo de araña, la ecuación es

ln=-1.6476+5.1215(tamaño de grano)

Reorganizar para resolver para Y (la probabilidad de arañas en una playa) produce

Y=e−1.6476+5.1215(tamaño de grano)/(1+e−1.6476+5.1215(tamaño de grano))

donde e es la raíz de los troncos naturales. Así que si vas a una playa y quieres predecir la probabilidad de que las arañas vivan allí, puedes medir el tamaño de grano de arena, conectarlo a la ecuación y obtener una estimación de Y, la probabilidad de que las arañas estén en la playa.

Hay varias formas diferentes de estimar el valor de P. El Wald chi-cuadrado es bastante popular, pero puede producir resultados inexactos con tamaños de muestra pequeños. El método de la razón de verosimilitud puede ser mejor. Utiliza la diferencia entre la probabilidad de obtener los resultados observados bajo el modelo logístico y la probabilidad de obtener los resultados observados en un modelo sin relación entre las variables independientes y dependientes. Te recomiendo que utilices el método de relación de verosimilitud; asegúrate de especificar qué método has utilizado cuando informes tus resultados.

Para el ejemplo de araña, el valor de P usando el método de razón de verosimilitud es 0.033, por lo que rechazaría la hipótesis nula. El valor de P para el método Wald es 0.088, que no es muy significativo.

Suposiciones

La regresión logística simple asume que las observaciones son independientes; en otras palabras, que una observación no afecta a otra. En el ejemplo del dragón de Komodo, si todos los huevos a 30°C fueron puestos por una madre, y todos los huevos a 32°C fueron puestos por una madre diferente, eso haría que las observaciones no fueran independientes. Si diseñas bien tu experimento, no tendrás ningún problema con esta suposición.

La regresión logística simple asume que la relación entre el logaritmo natural de la razón de probabilidades y la variable de medición es lineal. Es posible que pueda solucionar esto con una transformación de su variable de medición, pero si la relación se parece a una U o una U invertida, una transformación no funcionará. Por ejemplo, Suzuki et al. (2006) encontraron una probabilidad creciente de arañas con un tamaño de grano cada vez mayor, pero estoy seguro de que si miraran playas con arena aún más grande (en otras palabras, grava), la probabilidad de arañas volvería a bajar. En ese caso, no podría hacer una regresión logística simple; probablemente querrá hacer una regresión logística múltiple con una ecuación que incluya términos X y X2, en su lugar.

La regresión logística simple no asume que la variable de medición se distribuye normalmente.

Ejemplos

Un anfípodos
Una de crustáceos anfípodos, Megalorchestia californiana.

McDonald (1985) contó las frecuencias alélicas en el locus de la isomerasa manosa-6-fosfato (Mpi) en el crustáceo anfípodo Megalorchestia californiana, que vive en las playas de arena de la costa del Pacífico de América del Norte. Hubo dos alelos comunes, Mpi90 y Mpi100. La latitud de cada punto de recogida, el recuento de cada uno de los alelos, y la proporción de la Mpi100 alelo, se muestra a continuación:

Ubicación Latitud Mpi90 Mpi100 p, Mpi100
Port Townsend, WA 48.1 47 139 0.748
Neskowin, O 45.2 177 241 0.577
Siuslaw R., O 44 1087 1183 0.521
Umpqua R., O 43.7 187 175 0.483
Coos Bay, OR 43.5 397 671 0.628
San Francisco, CA 37.8 40 14 0.259
Carmel, CA 36.6 39 17 0.304
Santa Barbara, CA 34.3 30 0 0

Allele (Mpi90 or Mpi100) is the nominal variable, and latitude is the measurement variable. Si la pregunta biológica fuera » ¿Tienen diferentes localizaciones diferentes frecuencias alélicas?», ignorarías la latitud y harías una prueba de independencia de chi-cuadrado o G; aquí la pregunta biológica es » ¿Están las frecuencias alélicas asociadas con la latitud?»

Tenga en cuenta que aunque la proporción del alelo Mpi100 parece aumentar con el aumento de la latitud, los tamaños de muestra para las áreas norte y sur son bastante pequeños; hacer una regresión lineal de la frecuencia del alelo frente a la latitud les daría el mismo peso que a las muestras mucho más grandes de Oregón, lo que sería inapropiado. Haciendo una regresión logística, el resultado es chi2=83.3, 1 d.f., P=7×10-20. La ecuación de la relación es

ln (Y/(1−Y))=-7.6469+0.1786 (latitud),

donde Y es la probabilidad predicha de obtener un alelo Mpi100. Resolver esto para Y da

Y=e−7.6469+0.1786(latitud)/(1+e−7.6469+0.1786(latitud)).

Esta línea de regresión logística se muestra en el gráfico; tenga en cuenta que tiene una forma de S suave. Todas las ecuaciones de regresión logística tienen forma de S, aunque puede no ser obvio si se mira un rango estrecho de valores.

Gráfico de regresión logísticaFrecuencias alélicas Mpi vs.latitud en el anfípodo Megalorchestia californiana. Las barras de error son intervalos de confianza del 95%; la línea negra gruesa es la línea de regresión logística.

Graficar los resultados

Si tiene varias observaciones para cada valor de la variable de medición, como en el ejemplo de anfípodo anterior, puede trazar un gráfico de dispersión con la variable de medición en el eje X y las proporciones en el eje Y. Es posible que desee poner intervalos de confianza del 95% en los puntos; esto da una indicación visual de qué puntos contribuyen más a la regresión (los que tienen tamaños de muestra más grandes tienen intervalos de confianza más pequeños).

No hay forma automática en las hojas de cálculo de agregar la línea de regresión logística. Así es como lo conseguí en el gráfico de los datos de anfípodos. Primero, puse las latitudes en la columna A y las proporciones en la columna B. Luego, usando el comando Fill: Series, agregué los números 30, 30.1, 30.2, 5 50 a las celdas A10 a A210. En la columna C I ingresó la ecuación para la línea de regresión logística; en formato de Excel, es

=exp(-7.6469+0.1786*(A10))/(1+exp(-7.6469+0.1786*(A10)))

para la fila 10. Copié esto en las celdas C11 a C210. Luego, cuando dibujé un gráfico de los números en las columnas A, B y C, di los números en la columna B símbolos pero sin línea, y los números en la columna C obtuvieron una línea pero sin símbolos.

stoneroller central
stoneroller central, Campostoma anomalum.

Si solo tiene una observación de la variable nominal para cada valor de la variable de medición, como en el ejemplo de la araña, sería tonto dibujar un gráfico de dispersión, ya que cada punto en el gráfico estaría en 0 o 1 en el eje Y. Si tiene muchos puntos de datos, puede dividir los valores de medición en intervalos y trazar la proporción para cada intervalo en un gráfico de barras. Aquí hay datos del Estudio de Corrientes Biológicas de Maryland en 2180 sitios de muestreo en corrientes de Maryland. La variable de medición es la concentración de oxígeno disuelto, y la variable nominal es la presencia o ausencia del cantero central, Campostoma anomalum. Si utiliza un gráfico de barras para ilustrar una regresión logística, debe explicar que la agrupación fue solo con fines heurísticos y que la regresión logística se realizó en los datos sin agrupar sin procesar.

Gráfico de barras de regresión logística
Proporción de corrientes con canteros centrales vs.oxígeno disuelto. Los intervalos de oxígeno disuelto se establecieron para tener aproximadamente el mismo número de sitios de flujo. La línea negra gruesa es la línea de regresión logística; se basa en los datos sin procesar, no en los datos agrupados en intervalos.
Gráfico de barras de regresión logística
Proporción de corrientes con canteros centrales vs oxígeno disuelto. Los intervalos de oxígeno disuelto se establecieron para tener aproximadamente el mismo número de sitios de flujo. La línea negra gruesa es la línea de regresión logística; se basa en los datos sin procesar, no en los datos agrupados en intervalos.

Pruebas similares

Puede hacer regresión logística con una variable dependiente que tenga más de dos valores, conocida como regresión logística multinomial, politómica o policotómica. No cubro esto aquí.

Utilice regresión logística múltiple cuando la variable dependiente es nominal y hay más de una variable independiente. Es análogo a la regresión lineal múltiple, y se aplican todas las mismas advertencias.

Utilice regresión lineal cuando la variable Y sea una variable de medición.

Cuando solo hay una variable de medición y una variable nominal, puede usar anova unidireccional o una prueba t para comparar las medias de la variable de medición entre los dos grupos. Conceptualmente, la diferencia es si cree que la variación en la variable nominal causa variación en la variable de medición (use una prueba en t) o la variación en la variable de medición causa variación en la probabilidad de la variable nominal (use regresión logística). También debe considerar a quién le está presentando sus resultados y cómo van a usar la información. Por ejemplo, Tallamy et al. (2003) examinaron el comportamiento de apareamiento en escarabajos de pepino manchados (Diabrotica undeciimpunctata). Los escarabajos machos acarician a la hembra con su antena, y Tallamy et al. quería saber si los machos que acariciaban más rápido tenían mejor éxito de apareamiento. Compararon la tasa media de caricias de 21 hombres exitosos (50,9 caricias por minuto) y 16 hombres no exitosos (33,8 caricias por minuto) con una prueba t de dos muestras, y encontraron un resultado significativo (P<0.0001). Este es un resultado simple y claro, y responde a la pregunta, «¿Es más probable que las hembras de escarabajos manchados de pepino se apareen con machos que acarician más rápido?»Tallamy et al. (2003) podrían haber analizado estos datos utilizando regresión logística; es una técnica estadística más difícil y menos familiar que podría confundir a algunos de sus lectores, pero además de responder a la pregunta sí/no sobre si la velocidad de acarreo está relacionada con el éxito del apareamiento, podrían haber utilizado la regresión logística para predecir cuánto aumento en el éxito de apareamiento obtendría un escarabajo a medida que aumentaba su velocidad de acarreo. Esta información adicional podría ser útil (especialmente si eres un escarabajo de pepino macho).

¿Cómo hacer la prueba

Hoja de cálculo

he escrito una hoja de cálculo para hacer regresión logística simple. Puede ingresar los datos en forma resumida (por ejemplo, diciendo que a 30°C había 7 dragones de Komodo machos y 3 hembras) o en forma no resumida (por ejemplo, ingresando cada dragón de Komodo por separado, con «0» para un macho y «1» para una hembra). Utiliza el método de razón de verosimilitud para calcular el valor de P. La hoja de cálculo hace uso de la herramienta» Solucionador » en Excel. Si no ve Solucionador en el menú Herramientas, vaya a Complementos en el menú Herramientas e instale Solucionador.

Es divertido jugar con la hoja de cálculo, pero no estoy lo suficientemente seguro como para recomendarle que la use para obtener resultados publicables.

Página web

Hay una página web muy bonita que hará regresión logística, con la relación de verosimilitud chi-cuadrado. Puede ingresar los datos en forma resumida o no resumida, con los valores separados por pestañas (que obtendrá si copia y pega de una hoja de cálculo) o comas. Ingresarías los datos del anfípodo de esta manera:

 48.1,47,139 45.2,177,241 44.0,1087,1183 43.7,187,175 43.5,397,671 37.8,40,14 36.6,39,17 34.3,30,0

R

El compañero R de Salvatore Mangiafico tiene un programa R de muestra para regresión logística simple.

SAS

Utilice PROC LOGISTIC para una regresión logística simple. Hay dos formas de la declaración MODELO. Cuando tiene múltiples observaciones para cada valor de la variable de medición, su conjunto de datos puede tener la variable de medición, el número de «aciertos» (esto puede ser el valor de la variable nominal) y el total (para el cual puede necesitar crear una nueva variable, como se muestra aquí). Aquí hay un ejemplo usando los datos de anfípodos:

DATA amphipods; INPUT location $ latitude mpi90 mpi100; total=mpi90+mpi100; DATALINES;Port_Townsend,_WA 48.1 47 139 Neskowin,_OR 45.2 177 241Siuslaw_R.,_OR 44.0 1087 1183Umpqua_R.,_OR 43.7 187 175Coos_Bay,_OR 43.5 397 671San_Francisco,_CA 37.8 40 14Carmel,_CA 36.6 39 17Santa_Barbara,_CA 34.3 30 0;PROC LOGISTIC DATA=amphipods; MODEL mpi100/total=latitude;RUN;

Tenga en cuenta que puede crear la nueva variable TOTAL en el paso de DATOS añadiendo el número de alelos Mpi90 y Mpi100. La instrucción MODEL utiliza el número de alelos Mpi100 del total como variable dependiente. El valor de P sería el mismo si usaras Mpi90; los parámetros de la ecuación serían diferentes.

Hay una gran cantidad de resultados de PROC LOGISTIC que no necesita. El programa le da tres valores de P diferentes; el valor de P de la relación de verosimilitud es el más comúnmente utilizado:

 Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Test Chi-Square DF Pr > ChiSqLikelihood Ratio 83.3007 1 <.0001 P valueScore 80.5733 1 <.0001Wald 72.0755 1 <.0001

Los coeficientes de la ecuación logística se dan en «estimación»:

 Analysis of Maximum Likelihood Estimates Standard WaldParameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSqIntercept 1 -7.6469 0.9249 68.3605 <.0001latitude 1 0.1786 0.0210 72.0755 <.0001

Usando estos coeficientes, la ecuación de máxima verosimilitud para la proporción de alelos Mpi100 en una latitud particular es

Y=e−7.6469+0.1786(latitud)/(1+e−7.6469+0.1786(latitud))

También es posible utilizar datos en los que cada línea es una sola observación. En ese caso, puede usar palabras o números para la variable dependiente. En este ejemplo, los datos son la altura (en pulgadas) de los estudiantes de 2004 de mi clase, junto con su insecto favorito (agrupados en escarabajos vs.todo lo demás, donde «todo lo demás» incluye arañas, que un biólogo realmente debería saber que no son insectos):

DATA insect; INPUT height insect $ @@; DATALINES;62 beetle 66 other 61 beetle 67 other 62 other76 other 66 other 70 beetle 67 other 66 other70 other 70 other 77 beetle 76 other 72 beetle76 beetle 72 other 70 other 65 other 63 other63 other 70 other 72 other 70 beetle 74 other ;PROC LOGISTIC DATA=insect; MODEL insect=height;RUN;

El formato de los resultados es el mismo para cualquier forma de la declaración del MODELO. En este caso, el modelo sería la probabilidad de ESCARABAJO, porque es alfabéticamente primero; para modelar la probabilidad de OTRO, agregaría un EVENTO después de la variable nominal en la declaración DEL MODELO, convirtiéndolo en «insecto MODELO (EVENTO=’otro’)=altura;»

Análisis de potencia

Puede usar G*Power para estimar el tamaño de muestra necesario para una regresión logística simple. Elija «pruebas z» en Familia de pruebas y «Regresión logística» en Prueba estadística. Establece el número de colas (generalmente dos), alfa (generalmente 0.05) y potencia (a menudo 0.8 o 0.9). Para regresión logística simple, establezca» Distribución X «en Normal,» R2 other X «en 0,» X parm μ «en 0 y» X parm σ » en 1.

Lo último que debes establecer es el tamaño de tu efecto. Esta es la razón de probabilidades de la diferencia que esperas encontrar entre las probabilidades de Y cuando X es igual a la media X, y las probabilidades de Y cuando X es igual a la media X más una desviación estándar. Puede hacer clic en el botón «Determinar» para calcular esto.

Por ejemplo, supongamos que desea estudiar la relación entre el tamaño de las partículas de arena y la presencia o ausencia de escarabajos tigre. Pones alfa en 0,05 y potencia en 0,90. Usted espera, basado en investigaciones anteriores, que el 30% de las playas que verá tendrán escarabajos tigre, por lo que establece «Pr(Y=1|X=1) H0″ a 0.30. También en base a investigaciones anteriores, se espera un tamaño de grano de arena medio de .6 mm con una desviación estándar de 0,2 mm. El tamaño del efecto (la desviación mínima de la hipótesis nula que se espera ver) es que a medida que el tamaño del grano de arena aumenta en una desviación estándar, de 0,6 mm a 0,8 mm, la proporción de playas con escarabajos tigre pasará de 0,30 a 0,40. Haga clic en el botón» Determinar «e ingrese 0.40 para» Pr(Y=1|X=1) H1 » y 0.30 para «Pr(Y=1|X=1) H0″, luego presione » Calcular y transferir a la ventana principal.»Rellenará el odds ratio (1,555 para nuestro ejemplo) y el «Pr(Y=1|X=1) H0». El resultado en este caso es 206, lo que significa que su experimento requerirá que viaje a 206 playas cálidas y hermosas.

Imagen de anfípodo de la página de inicio de Vikram Iyengar.McDonald, J. H. 1985. Variación geográfica y relacionada con el tamaño en dos loci enzimáticos en Megalorchestia californiana (Amphipoda: Talitridae). Heredity 54: 359-366.

Suzuki, S., N. Tsurusaki, and Y. Kodama. 2006. Distribution of an endangered burrowing spider Lycosa ishikariana in the San’in Coast of Honshu, Japan (Araneae: Lycosidae). Acta Arachnologica 55: 79-86.

Tallamy, D. W., M. B. Darlington, J. D. Pesek, and B. E. Powell. 2003. El cortejo copulatorio señala la calidad genética masculina en los escarabajos de pepino. Proceedings of the Royal Society of London B 270: 77-82.

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Esta página fue revisada por última vez el 20 de julio de 2015. Su dirección es http://www.biostathandbook.com/logistic.html. Se puede citar como: McDonald, J. H. 2014. Handbook of Biological Statistics (3rd ed.). Sparky House Publishing, Baltimore, Maryland. Esta página web contiene el contenido de las páginas 238-246 en la versión impresa.©2014 por John H. McDonald. Probablemente puedas hacer lo que quieras con este contenido; consulta la página de permisos para obtener más detalles.

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